1.角动量 力矩

这个知识虽然不算电磁学，但是考虑到有点忘了而且后面可能用到，补上来。

角动量：

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$$

单位$kg\cdot m^2\cdot s^{-1}$ 方向由右手螺旋定律确定。

力矩：

$$\mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}$$

力矩的功

$$d\mathbf{W}=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}=\mathbf{F}\sin \phi \mathbf{r}d\theta$$

我们注意到$M=\mathbf{Fr}\sin \phi$ 所以有

$$W={\int }_0^{\theta }Md\theta$$

至于刚体的转动惯量这些，就无所谓了，关系不大。

相关：载流线圈的磁力矩

2.静电场

2.1 库仑定律

$$\mathbf{F}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$$

其中的${\epsilon }_0$ 称作真空介电常量，又称作真空电容率。${\epsilon }_0\approx 9.0\times 10^{9}N\cdot m^2\cdot C^{-2}$ 重点在于与高中之间的区别。注意方向。

相关：2.2 电场 电场强度 | 点电荷的电势 | 有介质时的高斯定理

2.2 电场 电场强度

跟高中一样 $\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q_0}$ 叠加是矢量和

相关：2.1 库仑定律 | 2.3 高斯定理及其应用 | 洛伦兹力

2.3 高斯定理及其应用

E通量：

电场通过某一曲面的 E 通量，即穿过该曲面的电场线条数。

$${\Phi }_E={\int }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}$$

闭合曲面的 E 通量则用 $\oint$ 表示。

高斯定理：

真空中，通过任一闭合曲面 S 的 E 通量等于该闭合曲面内所有电荷代数和除以 ${\epsilon }_0$，与曲面外的电荷无关。

$${\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _{S_{内}}{q}_i$$

注意：E 是空间所有电荷（包括曲面外电荷）共同产生的总电场，但通量只取决于内部电荷。这为了后面有介质的高斯定理做了铺垫

相关：D通量与有介质时的高斯定理 | 静电平衡 | 均匀带电球面的电势

2.4静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理：

静电场力做功与路径无关，静电场是保守场。

$${\oint }_L\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=0$$

电势：

静电场是保守场，可引入标量势函数——电势。将单位正电荷从某点 $a$ 移到无穷远电场力做的功称为该点的电势。

$$V_a={\int }_a^{\infty }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}$$

通常取无穷远处为零电势参考点。

电势能：

试探电荷 $q_0$ 在电场中某点的电势能等于 $q_0$ 乘以该点的电势。

$$W_{ab}=q_0(V_a-V_b)$$

点电荷的电势：

由库仑定律 $E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$，沿着径向积分：

$$V(r)={\int }_r^{\infty }\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^{\prime 2}}d{r}^{\prime }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\left[-\frac{1}{r^{\prime }}\right]}_r^{\infty }q=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$$

即点电荷的电势与距离成反比，正电荷周围电势为正，负电荷周围为负。

均匀带电球面的电势：

设球面半径为 $R$，总电荷为 $Q$。

由高斯定理已求得场强分布：

$$E=\{\begin{array}{ll}0,& r<R\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^2},& r>R\end{array}$$

球面外 $(r>R)$：积分路径在球外，场强与点电荷相同。

$$V(r)={\int }_r^{\infty }\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^{\prime 2}}d{r}^{\prime }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r}$$

球面内 $(r<R)$：需分两段积分，球外段和球内段（球内 $E=0$）。

$$V(r)={\int }_r^{\infty }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}={\int }_r^{R}0\cdot d{r}^{\prime }+{\int }_R^{\infty }\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r^{\prime 2}}d{r}^{\prime }=0+\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{R}$$

因此均匀带电球面内电势为常数，等于球面处电势；球面外电势与点电荷相同。

$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{R},& r\le R\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{r},& r>R\end{array}$$

相关：静电场的环路定理： | 电势能 | 电场能量与能量密度

2.5静电平衡

导体在电场中达到静电平衡时满足以下条件：

1. 导体内部任意点的场强处处为零。
2. 导体表面附近场强方向垂直于表面。
3. 整个导体是等势体，导体表面是等势面。

由高斯定理证明：在导体内部取任意闭合高斯面 $S$，静电平衡时内部无净电荷（自由电荷已移动至表面），故 ${\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=0$。由于 $S$ 是任意的，推出导体内各处 $\mathbf{E}=0$。

表面电荷面密度与场强关系：取一跨越导体表面的扁圆柱形高斯面，底面 $\Delta S$ 平行于表面，一部分在导体内（$\mathbf{E}=0$），一部分在导体外。忽略侧面通量，有：

$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=E\Delta S=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sigma \Delta S$$ $$\boxed{E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}}$$

即导体表面附近场强大小与该点电荷面密度成正比。

空腔导体：

腔内无带电体： 空腔导体达到静电平衡时，腔内无电场，内表面无电荷，电荷全部分布在外表面。取高斯面包围空腔（整体在导体内部），由于导体内 $\mathbf{E}=0$，$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=0$，故内表面总电荷为零。若内表面某处有正电荷，则必有电力线终止于负电荷处，产生电势差，与静电平衡矛盾，因此内表面处处无电荷。

腔内有带电体： 设腔内有电荷 $+q$，则空腔内表面感应出 $-q$，外表面感应出 $+q$（若导体原本不带电）。由高斯定理：取高斯面包围空腔（穿过导体内部），内表面电荷与腔内电荷代数和为零，故内表面感应 $-q$，由电荷守恒推出外表面为 $+q$。

注意：腔内电荷的位置、分布仅影响内表面感应电荷的分布，不影响外表面感应电荷的分布——只要腔内总电荷不变，外表面的电荷总量和分布都不变。

静电屏蔽：

不接地的情况：

• 屏蔽外电场：空腔导体在外电场中达到静电平衡时，腔内电场处处为零，腔内物体不受外部电场影响。即使不接地也能实现对外电场的屏蔽（外表面感应电荷不会影响腔内）。
• 不能屏蔽内电场：若腔内存在带电体但不接地，外表面会感应出等量同号电荷，外部空间仍能感受到内部电荷的电场，不能屏蔽内电场。

接地的情况：

• 屏蔽外电场：接地后导体与大地等势，屏蔽效果不变，且外表面电荷可流入大地，避免导体外表面电荷积累带来的影响。
• 屏蔽内电场：接地后，外表面感应电荷被导走至大地，导体外部不再有电场，实现完全屏蔽内电场。

总结：不接地的空腔导体只能屏蔽外电场（需导体封闭），不能屏蔽内电场；接地的空腔导体可同时屏蔽内外电场。

相关：高斯定理： | 有介质时的高斯定理

2.6有介质时的高斯定理

电位移矢量 $\mathbf{D}$：

在有电介质的空间中，为简化计算引入辅助场量——电位移矢量：

$$\mathbf{D}={\epsilon }_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$$

其中 $\mathbf{P}$ 为极化强度，反映电介质极化程度。对各向同性线性介质，$\mathbf{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\mathbf{E}$，${\chi }_e$ 为极化率，此时有：

$$\mathbf{D}={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)\mathbf{E}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E}\equiv \epsilon \mathbf{E}$$

${\epsilon }_r=1+{\chi }_e$ 为相对介电常数，$\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$ 为介电常数。

D通量与有介质时的高斯定理：

通过闭合曲面的 $\mathbf{D}$ 通量只与该曲面内自由电荷有关，与极化电荷无关。

$${\oint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\sum _{S_{内}}{Q}_{\text{自由}}$$

这是有介质时的高斯定理的积分形式，注意其中只包含自由电荷，不包含极化电荷。且注意一下右侧没有${\epsilon }_0$

点电荷在均匀电介质中的电场强度和电势：

设点电荷 $q$ 置于无限大均匀电介质（相对介电常数 ${\epsilon }_r$）中。由有介质高斯定理，取以 $q$ 为球心的球面：

$${\oint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=D\cdot 4\pi r^2=q\Rightarrow D=\frac{q}{4\pi r^2}$$

再由 $\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\mathbf{E}$ 得：

$$E=\frac{D}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\frac{q}{r^2}$$

沿径向积分得电势：

$$V(r)={\int }_r^{\infty }Ed{r}^{\prime }={\int }_r^{\infty }\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\frac{q}{r^{\prime 2}}d{r}^{\prime }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\frac{q}{r}$$

可见电介质中的场强和电势均比真空中缩小为原来的 $1/{\epsilon }_r$ 倍。

一对无限大均匀带电平板间的电场强度和电势差：

设两平行板面电荷密度分别为 $+\sigma$ 和 $-\sigma$，板间充满相对介电常数为 ${\epsilon }_r$ 的均匀电介质。取一跨越下极板的扁圆柱形高斯面，由有介质高斯定理：

$${\oint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=D\Delta S=\sigma \Delta S\Rightarrow D=\sigma$$

因此板间电位移大小恒为 $\sigma$，方向由正极板指向负极板。板间场强为：

$$E=\frac{D}{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}$$

两板间电势差（板间距 $d$）：

$$U=Ed=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}d=\frac{Qd}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}$$

其中 $Q=\sigma S$ 为极板电荷量。与真空相比，板间电势差降为原来的 $1/{\epsilon }_r$ 倍。

相关：高斯定理： | 平行板电容器 | 电容器的能量

2.7 电容和电容器

电容的定义：

电容是导体储存电荷能力的度量，定义为导体所带电荷量 $Q$ 与其电势 $V$ 的比值：

$$C=\frac{Q}{V}$$

对于电容器（两导体组成的系统），定义为其中一个极板所带电荷量 $Q$ 与两极板间电势差 $U$ 的比值：

$$C=\frac{Q}{U}$$

单位：法拉（F），$1\text{F}=1\text{C/V}$。

平行板电容器：

设两极板面积 $S$，间距 $d$（$d\ll \sqrt{S}$），板间充满 ${\epsilon }_r$ 的电介质。由前述推导：

$$E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0{\epsilon }_r}=\frac{Q}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S},U=Ed=\frac{Qd}{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}$$ $$\boxed{C=\frac{Q}{U}=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}}$$

球形电容器：

由两个同心球壳构成，内球半径 $R_1$，外球内半径 $R_2$，其间充满 ${\epsilon }_r$ 电介质。由高斯定理：

$$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\frac{Q}{r^2},U={\int }_{R_1}^{R_2}Edr=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$ $$\boxed{C=\frac{Q}{U}=4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1}}$$

圆柱形电容器：

由两个同轴圆柱面构成，内半径 $R_1$，外半径 $R_2$，长度 $L$（$L\gg R_2$），其间充满 ${\epsilon }_r$ 电介质，线电荷密度 $\lambda =Q/L$：

$$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}r},U={\int }_{R_1}^{R_2}Edr=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r}\ln \frac{R_2}{R_1}$$ $$\boxed{C=\frac{Q}{U}=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}L}{\ln (R_2/R_1)}}$$

电容器的连接：

串联： 各电容器电荷量相同，总电压等于各电容电压之和。

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots +\frac{1}{C_n}$$

串联后总电容减小。

并联： 各电容器电压相同，总电荷量等于各电容电荷量之和。

$$C=C_1+C_2+\cdots +C_n$$

并联后总电容增大。

特例：左右介质不同的平行板电容器：

平行板电容器极板面积 $S$，间距 $d$，左右两侧分别填充相对介电常数为 ${\epsilon }_{r1}$ 和 ${\epsilon }_{r2}$ 的电介质（各占面积 $S/2$）。两区域电压相同，相当于两个电容器的并联：

$$C_1=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r1}(S/2)}{d},C_2=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r2}(S/2)}{d}$$ $$\boxed{C=C_1+C_2=\frac{{\epsilon }_{0}S}{2d}({\epsilon }_{r1}+{\epsilon }_{r2})}$$

若两介质上下分层（厚度各为 $d_1$、$d_2$，$d_1+d_2=d$），则相当于串联：

$$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\Rightarrow \boxed{C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{\frac{d_1}{{\epsilon }_{r1}}+\frac{d_2}{{\epsilon }_{r2}}}}$$

相关：有介质时的高斯定理 | 电容器的能量 | 一对无限大均匀带电平板间的电场强度和电势差

2.8 静电场的能量

点电荷系的电能：

将点电荷系从无限远移到现在位置，外力克服电场力所做的功转化为电能。

两个点电荷：设 $q_1$ 固定，$q_2$ 从无穷远移到距 $q_1$ 为 $r$ 处，$q_1$ 在该处的电势 $V_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1}{r}$，外力做功即为电能：

$$W=q_2{V}_2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r}$$

对称形式：

$$W=\frac{1}{2}(q_1{V}_1+q_2{V}_2)$$

对 $n$ 个点电荷推广：

$$\boxed{W=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{q}_i{V}_i}$$

其中 $V_i$ 为除 $q_i$ 外其他所有电荷在 $q_i$ 处产生的电势。

电容器的能量：

电容器充电过程相当于将电荷 $dq$ 从一极板移到另一极板，外力克服电场力做功。设某时刻极板电荷 $q$，电势差 $u=q/C$，移动 $dq$ 做功：

$$dW=udq=\frac{q}{C}dq$$

积分得电容器总电能：

$$W={\int }_0^Q\frac{q}{C}dq=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}C{U}^2$$

电场能量与能量密度：

电能定域在电场中，即电场本身储存能量。以平行板电容器为例：

$$W=\frac{1}{2}C{U}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}\cdot (Ed{)}^2=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r{E}^2\cdot Sd$$

$Sd$ 为极板间体积，因此电场的能量密度（单位体积电场能量）为：

$$\boxed{w_e=\frac{W}{V}=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{1}{2}\mathbf{D}\cdot \mathbf{E}}$$

该式适用于任意静电场，对空间各点积分即得总电场能量：

$$W={\int }_V{w}_{e}dV=\frac{1}{2}{\int }_V\epsilon E^{2}dV$$

例：球形电容器的电场能量。 内半径 $R_1$，外半径 $R_2$，其间充满 $\epsilon$ 电介质，带电量 $Q$。

用能量密度法：

$$E=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{Q}{r^2}(R_1<r<R_2),w_e=\frac{1}{2}\epsilon E^2=\frac{Q^2}{32{\pi }^2\epsilon r^4}$$ $$W={\int }_V{w}_{e}dV={\int }_{R_1}^{R_2}\frac{Q^2}{32{\pi }^2\epsilon r^4}\cdot 4\pi r^{2}dr=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon }{\int }_{R_1}^{R_2}\frac{dr}{r^2}=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon }\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$

用电容器能量公式法：

$$C=4\pi \epsilon \frac{R_1{R}_2}{R_2-R_1},W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{2}\cdot \frac{R_2-R_1}{4\pi \epsilon R_1{R}_2}=\frac{Q^2}{8\pi \epsilon }\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$$

两种方法结果一致。

相关：电容器的能量 | 球形电容器 | 电势能

3.恒定磁场

3.1 磁场 磁感应强度 洛伦兹力

磁感应强度 $\mathbf{B}$：

描述磁场强弱和方向的物理量，单位特斯拉（$\text{T}$），$1\text{T}=1\text{N/(A⋅m)}$。

洛伦兹力：

运动电荷在磁场中受到的力。

$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$$

大小 $F=qvB\sin \theta$，方向由右手螺旋定则判定。$\mathbf{F}$ 始终垂直于 $\mathbf{v}$，故洛伦兹力不做功。

磁通量：

通过某一曲面的磁感应线数。

$${\Phi }_B={\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$$

单位韦伯（$\text{Wb}$），$1\text{Wb}=1{\text{T⋅m}}^2$。

相关：洛伦兹力 | 安培定律： | 磁场中的高斯定理

3.2 毕奥-萨伐尔定律

电流元 $Id\mathbf{l}$ 在空间某点产生的磁感应强度：

$$d\mathbf{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\mathbf{l}\times {\mathbf{e}}_r}{r^2}$$

${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\text{T⋅m/A}$ 为真空磁导率。整个回路产生的磁场：

$$\mathbf{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_L\frac{d\mathbf{l}\times {\mathbf{e}}_r}{r^2}$$

1. 载流直导线的磁场：

设直导线长 $L$，电流 $I$，场点 $P$ 到导线的垂直距离为 $a$，两端与 $P$ 连线和电流方向的夹角分别为 ${\theta }_1$、${\theta }_2$。

$$dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I\sin \theta dx}{r^2},x=a\cot (\pi -\theta )=-a\cot \theta ,r=\frac{a}{\sin \theta }$$

代入积分得：

$$B={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}\sin \theta d\theta =\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$$

无限长直导线（${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi$）：

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi a}$$

半无限长直导线（${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi /2$ 或 ${\theta }_1=\pi /2,{\theta }_2=\pi$）：

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi a}$$

2. 圆形载流导线轴线上的磁场：

设圆环半径 $R$，电流 $I$，轴线上距圆心 $x$ 处取 $P$ 点。由对称性，$d{B}_{\perp }$ 分量相互抵消，只有轴向分量 $d{B}_{\parallel }$ 贡献：

$$d{B}_{\parallel }=dB\sin \phi =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl}{r^2}\cdot \frac{R}{r},r=\sqrt{R^2+x^2}$$ $$B={\int }_0^{2\pi R}\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{R}{r^3}dl=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$$

圆心处（$x=0$）：

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$$

$x\gg R$（远处近似）：

$$B\approx \frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2x^3}$$

3. 载流密绕直螺线管内部轴线上的磁场：

设螺线管单位长度匝数 $n$，每匝电流 $I$，半径 $R$。取 $dx$ 段等效为圆形电流，其在轴线上 $P$ 点产生的磁场：

$$dB=\frac{{\mu }_{0}nI{R}^{2}dx}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$$

令 $x=R\cot \beta$，得：

$$B=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}{\int }_{{\beta }_1}^{{\beta }_2}(-\sin \beta )d\beta =\frac{{\mu }_{0}nI}{2}(\cos {\beta }_1-\cos {\beta }_2)$$

无限长螺线管（${\beta }_1=0,{\beta }_2=\pi$）：

$$B={\mu }_{0}nI$$

内部磁场均匀，方向沿轴线。

4. 运动电荷的磁场：

电流 $I=nqSv$，其中 $n$ 为电荷数密度，$S$ 为截面积，$q$ 为每个电荷的带电量，$v$ 为定向漂移速度。

$$Id\mathbf{l}=nqSvd\mathbf{l}=nqSd\mathbf{l}v=Nq\mathbf{v}$$

其中 $N=nSdl$ 为 $dl$ 段中的电荷数。由毕奥-萨伐尔定律，一个运动电荷产生的磁场：

$$\mathbf{B}=\frac{d\mathbf{B}}{N}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{q\mathbf{v}\times {\mathbf{e}}_r}{r^2}$$

方向由右手螺旋定则判定：$\mathbf{v}$ 转向 $\mathbf{r}$ 的方向为 $\mathbf{B}$ 方向。

相关：安培环路定理 | 载流直导线的磁场： | 运动电荷的磁场

3.3 磁场中的高斯定理

在磁场中通过任意闭合曲面的$\mathbf{B}$通量均等于零，即

$${\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0$$

相关：高斯定理： | 磁介质中的安培环路定理

3.4 安培环路定理

在恒定磁场中，磁感应强度 $\mathbf{B}$ 沿任意闭合回路的线积分等于该回路所包围电流代数和的 ${\mu }_0$ 倍。

$${\oint }_L\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\mu }_0\sum _{L_{内}}{I}_i$$

注意积分回路方向与电流正方向成右手螺旋关系时电流取正，反之取负。

应用：载流长直螺线管内部磁感应强度

设螺线管单位长度匝数 $n$，电流 $I$。由对称性，管内 $\mathbf{B}$ 沿轴向均匀，管外 $\mathbf{B}\approx 0$。取矩形回路 $abcd$，$ab$ 段平行于轴线且长度为 $l$，由安培环路定理：

$${\oint }_L\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}={\int }_{ab}Bdl+0+0+0=B\cdot l={\mu }_{0}nIl$$ $$\boxed{B={\mu }_{0}nI}$$

应用：螺绕环磁感应分布

设螺绕环总匝数 $N$，电流 $I$，环内半径为 $r$ 处取圆形回路。由对称性，$\mathbf{B}$ 沿圆周切向且大小恒定。螺绕环内部（$R_1<r<R_2$）：

$${\oint }_L\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}NI$$ $$\boxed{B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2\pi r}}$$

螺绕环外部（$r<R_1$ 或 $r>R_2$）：回路所包围总电流代数和为零（$NI$ 穿入一次又穿出一次），故：

$$\boxed{B=0}$$

特例：当螺绕环截面半径远小于环平均半径时，$r\approx R$（平均半径），环内磁场近似均匀 $B\approx {\mu }_{0}nI$，其中 $n=N/(2\pi R)$ 为单位长度匝数。

相关：毕奥-萨伐尔定律 | 载流密绕直螺线管内部轴线上的磁场 | 磁介质简介

3.5 带电粒子在磁场中的运动

带电粒子在磁场中受洛伦兹力：

$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$$

圆周运动：

当 $\mathbf{v}\perp \mathbf{B}$，粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：

$$qvB=m\frac{v^2}{R}$$

圆周半径：

$$\boxed{R=\frac{mv}{qB}}$$

周期（与速度无关）：

$$\boxed{T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi m}{qB}}$$

当 $\mathbf{v}$ 与 $\mathbf{B}$ 不垂直时，粒子做螺旋线运动，螺旋半径 $R=m{v}_{\perp }/(qB)$，螺距 $h=v_{\parallel }T=2\pi m{v}_{\parallel }/(qB)$。

速度选择器：

正交电场 $\mathbf{E}$ 与磁场 $\mathbf{B}$，带电粒子以速度 $\mathbf{v}\perp \mathbf{E},\mathbf{B}$ 射入。电场力与洛伦兹力平衡时粒子匀速穿过：

$$qE=qvB\Rightarrow \boxed{v=\frac{E}{B}}$$

霍尔效应：

电流 $I$ 沿导体流过，垂直方向外加磁场 $B$，载流子在洛伦兹力作用下偏转，在导体上下表面累积电荷形成横向霍尔电压。

$$U_H=\frac{1}{nq}\cdot \frac{IB}{d}=R_H\frac{IB}{d}$$

其中 $d$ 为导体厚度，霍尔系数：

$$\boxed{R_H=\frac{1}{nq}}$$

$n$ 为载流子浓度，$q$ 为载流子电荷量（含符号）。$R_H>0$ 表示空穴导电，$R_H<0$ 表示电子导电。

相关：洛伦兹力 | 速度选择器

3.6 磁场对载流导线的作用

安培定律：

电流元中的载流子均受洛伦兹力，合力即为安培力。设电流元 $Id\mathbf{l}$ 中载流子总数 $N=nSdl$，每个载流子受力 $\mathbf{f}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$，由 $Id\mathbf{l}=Nq\mathbf{v}$ 得安培定律微分形式：

$$\boxed{d\mathbf{F}=Id\mathbf{l}\times \mathbf{B}}$$

有限长导线：

$$\mathbf{F}={\int }_{L}Id\mathbf{l}\times \mathbf{B}$$

载流线圈的磁力矩：

磁矩：平面载流线圈的磁矩定义为电流 $I$ 与线圈面积矢量 $\mathbf{S}$ 的乘积（$\mathbf{S}$ 方向按右手定则由电流方向确定）：

$$\boxed{\mathbf{m}=I\mathbf{S}}$$

$N$ 匝线圈：$\mathbf{m}=NI\mathbf{S}$，单位 ${\text{A⋅m}}^2$。

矩形线圈的磁力矩：设矩形线圈边长 $a$、$b$，电流 $I$，均匀磁场 $\mathbf{B}$ 中，磁矩 $\mathbf{m}$ 与 $\mathbf{B}$ 夹角 $\theta$。两边 $a$ 受安培力等大反向形成力偶：

$$F=BIa,M=2\cdot F\cdot \frac{b}{2}\sin \theta =BIab\sin \theta =mB\sin \theta$$

矢量形式：

$$\boxed{\mathbf{M}=\mathbf{m}\times \mathbf{B}}$$

关于力矩的部分看前面力矩：

平衡状态：

• $\theta =0^{\circ }$（$\mathbf{m}\parallel \mathbf{B}$）：磁力矩为零，稳定平衡（势能最低）。
• $\theta =180^{\circ }$（$\mathbf{m}$ 与 $\mathbf{B}$ 反向）：磁力矩为零，不稳定平衡（势能最高，稍有扰动即偏转）。

磁力矩的功：线圈在磁场中转动 $d\theta$，磁力矩做功（外力做负功）：

$$dW=-Md\theta =-mB\sin \theta d\theta =mBd(\cos \theta )=d(mB\cos \theta )=d(\mathbf{m}\cdot \mathbf{B})$$

又因 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{B}=I\mathbf{S}\cdot \mathbf{B}=I\Phi$（$\Phi$ 为通过线圈的磁通量），得：

$$\boxed{W={\int }_{{\Phi }_1}^{{\Phi }_2}Id\Phi =I\Delta \Phi }$$

磁力矩做功等于电流 $I$ 乘以磁通量的增量。

相关：洛伦兹力 | 安培定律： | 磁矩

3.7 磁介质、磁介质中的安培环路定理

磁介质简介：

在磁场中能被磁化并反过来影响磁场的物质称为磁介质。分为三类：

• 顺磁质：${\mu }_r>1$（略大于 1），如铝、锰。
• 抗磁质：${\mu }_r<1$（略小于 1），如铜、水。
• 铁磁质：${\mu }_r\gg 1$，如铁、钴、镍，磁化后剩磁显著。

磁化强度 $\mathbf{M}$：

单位体积内分子磁矩的矢量和，描述介质的磁化程度：

$$\mathbf{M}=\frac{\sum {\mathbf{m}}_i}{\Delta V}$$

对各向同性线性磁介质，磁化强度与磁场强度成正比：

$$\mathbf{M}={\chi }_m\mathbf{H}$$

${\chi }_m$ 为磁化率（无量纲），顺磁质 ${\chi }_m>0$，抗磁质 ${\chi }_m<0$。

磁场强度 $\mathbf{H}$ 与磁介质中的安培环路定理：

为简化磁介质中安培环路定理，引入磁场强度：

$$\boxed{\mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{{\mu }_0}-\mathbf{M}}$$

单位 $\text{A/m}$。对各向同性线性磁介质：

$$\mathbf{B}={\mu }_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})={\mu }_0(1+{\chi }_m)\mathbf{H}={\mu }_0{\mu }_r\mathbf{H}\equiv \mu \mathbf{H}$$

其中 ${\mu }_r=1+{\chi }_m$ 为相对磁导率，$\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ 为磁导率。

磁介质中的安培环路定理（$\mathbf{H}$ 的环路定理）：

$$\boxed{{\oint }_L\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\sum _{L_{内}}{I}_{\text{传导}}}$$

$\mathbf{H}$ 的环路积分只与传导电流有关，与磁化电流无关。

注：磁介质中的高斯定理仍为 ${\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0$，磁场仍是无源场——因自然界不存在磁单极子，磁化电流产生的磁场同样闭合。

相关：安培环路定理 | 磁场中的高斯定理 | 磁矩

4. 变化的电磁场

4.1 法拉第电磁感应定律

全磁通（磁链）：

通过回路所围面积的总磁通量。对于 $N$ 匝线圈（每匝磁通量相同）：

$$\Phi ={\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},\Psi =N\Phi$$

$\Psi$ 称为全磁通，又称磁链。

法拉第电磁感应定律（微分形式）：

当穿过回路的全磁通发生变化时，回路中产生感应电动势，大小等于全磁通对时间的变化率的负值：

$$\boxed{\epsilon =-\frac{d\Psi }{dt}}$$

若回路闭合，则有感应电流 $I=\epsilon /R$；若回路不闭合，电动势仍存在，只是无电流。

定律的积分形式（联系感应电动势与磁通量变化）：

$$\epsilon ={\oint }_L{\mathbf{E}}_k\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$$

其中 ${\mathbf{E}}_k$ 为非静电场强（感应电场）。

楞次定律：

闭合回路中感应电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻碍引起感应电流的磁通量变化。即「增反减同」——磁通量增大时，感应电流的磁场方向与原磁场方向相反；减小时方向相同。楞次定律本质是能量守恒定律在电磁感应中的体现。

相关：4.2 动生电动势与感生电动势 | 磁通量

4.2 动生电动势与感生电动势

4.2.1 动生电动势

导体在恒定磁场中运动而产生的感应电动势称为动生电动势。非静电力为洛伦兹力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$，等效非静电场强 ${\mathbf{E}}_k=\mathbf{v}\times \mathbf{B}$：

$$\boxed{\epsilon ={\int }_L(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}}$$

例：直导体棒在均匀磁场中滑动。 长为 $l$ 的导体棒以速度 $v$ 在垂直于均匀磁场 $B$ 的方向上平动，三者两两垂直：

$$\epsilon ={\int }_0^{l}vBdl=Blv$$

方向由 $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ 判定。

例：导体棒绕一端在匀强磁场中旋转。 棒长 $l$，角速度 $\omega$，磁场 $B$ 垂直于旋转平面。取距转轴 $r$ 处线元 $dr$，速度 $v=\omega r$：

$$d\epsilon =Bvdr=B\omega rdr$$ $$\epsilon ={\int }_0^{l}B\omega rdr=\frac{1}{2}B\omega l^2$$

注意区分「动生」与「感生」：动生电动势的非静电力是洛伦兹力，磁场本身不随时间变化，只是导体运动导致回路面积或取向变化；感生电动势则是磁场本身随时间变化产生涡旋电场。

4.2.2 感生电动势与涡旋电场

磁场随时间变化时，在空间激发涡旋电场 ${\mathbf{E}}_{\text{涡}}$（又称感生电场），其电场线为闭合曲线。回路不动而磁场变化时：

$$\boxed{\epsilon ={\oint }_L{\mathbf{E}}_{\text{涡}}\cdot d\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}}$$

该式是法拉第定律的积分形式，揭示了「变化的磁场激发涡旋电场」。

涡旋电场 ${\mathbf{E}}_{\text{涡}}$ 与静电场 ${\mathbf{E}}_{\text{静}}$ 的区别：

	静电场	涡旋电场
场源	静止电荷	变化的磁场
电场线	起于正电荷，止于负电荷	闭合曲线（无头无尾）
环路积分	$\oint {\mathbf{E}}_{\text{静}}\cdot d\mathbf{l}=0$（保守场）	$\oint {\mathbf{E}}_{\text{涡}}\cdot d\mathbf{l}\ne 0$（非保守场）
高斯定理	$\oint {\mathbf{E}}_{\text{静}}\cdot d\mathbf{S}=q/{\epsilon }_0$（有源场）	$\oint {\mathbf{E}}_{\text{涡}}\cdot d\mathbf{S}=0$（无源场）

涡旋电场的高斯定理：

涡旋电场线为闭合曲线，通过任意闭合曲面的 ${\mathbf{E}}_{\text{涡}}$ 通量为零：

$$\boxed{{\oint }_S{\mathbf{E}}_{\text{涡}}\cdot d\mathbf{S}=0}$$

即涡旋电场是无源场，不存在与之对应的「涡旋电荷」。空间中总电场 $\mathbf{E}={\mathbf{E}}_{\text{静}}+{\mathbf{E}}_{\text{涡}}$，其高斯定理为 ${\oint }_S\mathbf{E}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_i$（因 ${\mathbf{E}}_{\text{涡}}$ 的通量为零）。

相关：法拉第电磁感应定律（微分形式）： | 静电场的环路定理： | 高斯定理：

4.3 自感和互感

4.3.1 自感

定义：

回路中电流变化时，穿过回路自身的全磁通随之变化，在回路中产生感应电动势，此现象称自感。

全磁通与电流成正比（无铁磁质时）：

$$\boxed{\Psi =LI}$$

比例系数 $L$ 称为自感系数，简称自感，单位亨利（$\text{H}$），$1\text{H}=1\text{Wb/A}$。

自感电动势（由法拉第定律）：

$$\boxed{{\epsilon }_L=-\frac{d\Psi }{dt}=-L\frac{dI}{dt}}$$

负号表明自感电动势总是阻碍电流的变化。

例1：长直螺线管的自感

设螺线管长 $l$，截面积 $S$，单位长度匝数 $n$，总匝数 $N=nl$，管内充满磁导率为 $\mu ={\mu }_0{\mu }_r$ 的磁介质。管内磁场 $B=\mu nI$，每匝磁通量 $\Phi =BS=\mu nIS$，全磁通：

$$\Psi =N\Phi =nl\cdot \mu nIS=\mu n^{2}lSI$$ $$\boxed{L=\frac{\Psi }{I}=\mu n^{2}lS=\mu n^{2}V}$$

其中 $V=lS$ 为螺线管体积。自感与匝数密度的平方和体积成正比。

例2：同轴电缆的自感（单位长度）

设内导体半径 $a$，外导体薄壳内半径 $b$，其间充满 $\mu$ 的磁介质。取半径为 $r$ 处的安培回路（$a<r<b$），由安培环路定理：

$$B=\frac{\mu I}{2\pi r}$$

通过长度为 $l$ 的径向截面（$a$ 到 $b$）的磁通量：

$$\Phi ={\int }_a^{b}B\cdot ldr=\frac{\mu Il}{2\pi }{\int }_a^b\frac{dr}{r}=\frac{\mu Il}{2\pi }\ln \frac{b}{a}$$

单位长度自感：

$$\boxed{L_0=\frac{\Phi }{Il}=\frac{\mu }{2\pi }\ln \frac{b}{a}}$$

相关：载流密绕直螺线管内部轴线上的磁场 | 互感

4.3.2 互感

定义：

两个邻近回路，其中一个回路电流变化时，在另一个回路中产生感应电动势的现象称互感。

设回路1电流 $I_1$，穿过回路2的全磁通 ${\Psi }_{21}$；回路2电流 $I_2$，穿过回路1的全磁通 ${\Psi }_{12}$。实验表明（无铁磁质时）：

$$\boxed{{\Psi }_{21}=M_{21}{I}_1,{\Psi }_{12}=M_{12}{I}_2}$$

且可证明 $M_{21}=M_{12}=M$，称为互感系数，简称互感，单位同自感（$\text{H}$）。

互感电动势：

$$\boxed{{\epsilon }_{21}=-\frac{d{\Psi }_{21}}{dt}=-M\frac{d{I}_1}{dt},{\epsilon }_{12}=-M\frac{d{I}_2}{dt}}$$

例：两个同轴长直螺线管的互感

设原线圈（1）长 $l$，匝数 $N_1$，截面积 $S$；副线圈（2）匝数 $N_2$，紧绕在原线圈上（两者长度、截面积近似相同）。原线圈通电流 $I_1$，管内磁场：

$$B_1=\mu \frac{N_1}{l}{I}_1$$

穿过副线圈每匝的磁通量 $\Phi =B_{1}S$，副线圈全磁通：

$${\Psi }_{21}=N_2{B}_{1}S=\mu \frac{N_1{N}_2}{l}S{I}_1$$ $$\boxed{M=\frac{{\Psi }_{21}}{I_1}=\mu \frac{N_1{N}_2}{l}S}$$

若两线圈各自的自感分别为 $L_1=\mu N_1^{2}S/l$、$L_2=\mu N_2^{2}S/l$，则有 $M=\sqrt{L_1{L}_2}$（无漏磁的理想耦合情况，对应耦合系数 $k=1$）。

相关：例1：长直螺线管的自感 | 载流密绕直螺线管内部轴线上的磁场

4.4 自感磁能与磁场能量密度

自感磁能：

自感为 $L$ 的线圈中通有电流 $I$，回路储存的磁能。考虑电流从 0 增长到 $I$ 的过程，某时刻电流为 $i$，自感电动势 ${\epsilon }_L=-Ldi/dt$，外电源克服自感电动势做功功率 $P=-{\epsilon }_{L}i=Lidi/dt$：

$$dW=Pdt=Lidi$$

积分得：

$$\boxed{W_m=\frac{1}{2}L{I}^2}$$

此即自感线圈储存的磁能。形式上可与电容器电能 $W_e=\frac{1}{2}C{U}^2$ 对照——电能储于电场，磁能储于磁场。

磁场能量密度：

磁能定域在磁场中。以长直螺线管为例验证：自感 $L=\mu n^{2}V$，电流 $I$ 产生管内磁场 $B=\mu nI$，磁能：

$$W_m=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\cdot \mu n^{2}V\cdot {\left(\frac{B}{\mu n}\right)}^2=\frac{B^2}{2\mu }V$$

因此磁场的能量密度（单位体积磁场能量）为：

$$\boxed{w_m=\frac{W_m}{V}=\frac{B^2}{2\mu }=\frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H}=\frac{1}{2}\mu H^2}$$

该式适用于任意磁场。对空间积分即得总磁能：

$$W_m={\int }_V{w}_{m}dV=\frac{1}{2}{\int }_V\mathbf{B}\cdot \mathbf{H}dV$$

相关：电场能量与能量密度 | 例1：长直螺线管的自感 | 电容器的能量

4.5 位移电流与全电流安培环路定理

问题的提出——安培环路定理在非稳恒电流中的矛盾：

对稳恒电流，安培环路定理 ${\oint }_L\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\sum I_{\text{传导}}$ 成立。但在含有电容器的交变电路中，取回路 $L$ 包围电容器一极板导线，以 $L$ 为边界取两个不同的曲面 $S_1$（穿过导线）和 $S_2$（穿过电容极板间）：

• $S_1$ 有传导电流 $I$ 穿过；
• $S_2$ 无传导电流穿过（极板间为绝缘介质或真空）。

同一回路 ${\oint }_L\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}$ 必须唯一，但按原定理结果不同——这表明稳恒条件下的安培环路定理对非稳恒情况不适用，需要修正。

位移电流：

麦克斯韦提出，变化的电场等效于一种电流——位移电流。设电容极板面积 $S$，电荷 $Q$，传导电流 $I=dQ/dt$ 流入极板。极板间电位移 $D=\sigma =Q/S$，通过整个极板间的电位移通量：

$${\Phi }_D={\int }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=DS=Q$$ $$\frac{d{\Phi }_D}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I$$

即穿过 $S_2$ 的位移电流恰好等于穿过 $S_1$ 的传导电流！定义：

位移电流密度（空间各点的变化电场）：

$$\boxed{{\mathbf{j}}_d=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}}$$

位移电流（通过某曲面的位移电流）：

$$\boxed{I_d={\int }_S{\mathbf{j}}_d\cdot d\mathbf{S}={\int }_S\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}=\frac{d{\Phi }_D}{dt}}$$

注意：位移电流并非电荷定向运动产生的真实电流，仅因它按同样规律激发磁场而得名。「全电流 $=$ 传导电流 $+$ 位移电流」在任意情况下闭合回路都是连续的。

全电流安培环路定理：

将位移电流纳入安培环路定理右侧，得到适用于一般情况的全电流安培环路定理（又称安培-麦克斯韦定律）：

$$\boxed{{\oint }_L\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\sum I_{\text{传导}}+I_d=\sum I_{\text{传导}}+{\int }_S\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}}$$

其核心思想：传导电流激发磁场，变化的电场也激发磁场（涡旋磁场）。两者按右手螺旋关系分别由传导电流方向和 $\partial \mathbf{D}/\partial t$ 方向确定。这是麦克斯韦电磁理论的关键创新。

相关：安培环路定理 | D通量与有介质时的高斯定理 | 4.1 法拉第电磁感应定律

4.6 麦克斯韦方程组（积分形式）

电磁学的基本规律可归结为四个方程——麦克斯韦方程组：

电场的高斯定理：

$$\boxed{{\oint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\sum Q_{\text{自由}}}$$

反映电场是有源场，电荷是电场的源。

磁场的高斯定理：

$$\boxed{{\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0}$$

反映磁场是无源场，不存在磁单极子。

法拉第电磁感应定律：

$$\boxed{{\oint }_L\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}}$$

反映变化的磁场激发涡旋电场。

全电流安培环路定理（安培-麦克斯韦定律）：

$$\boxed{{\oint }_L\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=\sum I_{\text{传导}}+{\int }_S\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}}$$

反映传导电流和变化的电场共同激发磁场。

四个方程加上电荷守恒定律 ${\oint }_S\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}=-\frac{dQ}{dt}$ 以及介质的本构关系 $\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}$、$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$、$\mathbf{j}=\sigma \mathbf{E}$，完整描述了宏观电磁现象。

麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在——变化的电场和变化的磁场相互激发，以波的形式在空间传播，光速 $c=1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$。这是 19 世纪物理学最伟大的成就之一。

相关：高斯定理： | 磁场中的高斯定理 | 法拉第电磁感应定律（微分形式）： | 全电流安培环路定理： | 有介质时的高斯定理